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某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式: R=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22. (1)在广告
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式: R=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22. (1)在广告
admin
2019-08-12
85
问题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费x
1
(万元)及报纸广告费用x
2
(万元)之间的关系有如下经验公式:
R=15+14x
1
+32x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
.
(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;
(2)若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
选项
答案
(1)利润函数为z=f(x
1
,x
2
)=15+14x
1
+32x
2
—8x
1
x
2
-2x
1
2
—10x
2
2
一(x
1
+x
2
) =15+13x
1
+31x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
. [*] 函数z=f(x
1
,x
2
)在(0.75,1.25)的二阶导数为[*]=一20.由于B
2
一AC=64-80=一16<0,A=一4<0,所以函数z=f(x
1
,x
2
)在(0.75,1.25)处达到极大值,也即最大值.所以投入电台广告费0.75万元,报纸广告费1.25万元时,利润最大. (2)若广告费用为1.5万元,则需求利润函数z=f(x
1
,x
2
)在x
1
+x
2
=1.5时的条件极值. 构造拉格朗日函数 F(x
1
,x
2
,λ)=15+13x
1
+31x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
—1.5), 由方程组 [*] 得x
1
=0,x
2
=1.5. 即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
解析
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考研数学二
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