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设3阶实对称矩阵 其中k1，k2，k3为大于0的任意常数，证明A与B合同，并求出可逆矩阵C，使得CTAC=B。
设3阶实对称矩阵 其中k1，k2，k3为大于0的任意常数，证明A与B合同，并求出可逆矩阵C，使得CTAC=B。
admin
2021-10-02
72
问题
设3阶实对称矩阵
其中k
1
，k
2
，k
3
为大于0的任意常数，证明A与B合同，并求出可逆矩阵C，使得C
T
AC=B。
选项
答案
A所对应的二次型为 f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax =(a
1
+a
2
+a
3
)x
1
2
+(a
2
+a
3
)x
2
2
+a
3
x
3
2
+2(a
2
+a
3
)x
1
x
2
+2a
3
x
1
x
2
+2a
3
x
2
x
2
=a
3
(x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
+x
3
2
)+a
2
(x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
)+a
1
x
1
2
=a
1
x
1
2
+a
2
(x
1
+x
2
)
2
+a
3
(x
1
+x
2
+x
3
)
2
=[*] 令[*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=k
3
a
1
y
1
2
+k
2
a
3
y
2
2
+k
1
a
3
y
3
2
=(y
1
，y
2
，y
3
)[*]=y
T
By， 又[*] 并将该式记为x=Cy，因｜C｜=[*]≠0，所以C为可逆矩阵，且C
T
AC=B，故A与B合同，且所求的可逆矩阵为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VzR4777K
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考研数学三
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