(2003年试题，四)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．

admin2013-12-27 43

问题 (2003年试题，四)将函数

展开成x的幂级数，并求级数

的和．

选项

答案由于幂级数可逐项求导(积分)，结合题设所给函数f(x)的形式，可知应先将f(x)求导以后作幂级数展开，再逐项积分，即[*]从而[*]因此[*]由于级数[*]收敛，函数f(x)在[*]处连续，所以[*]令[*]则[*]因此[*]

解析幂级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间，但在收敛区间的端点处的敛散性可能会改变．如幂级数

ⁿ4ⁿx²ⁿ的收敛域为

但逐项积分后所得幂级数

的收敛域为

其实它在

处也收敛，但函数

处没有定义．

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