设A，B为n阶矩阵，且A，B等价，则下列结论正确的是( )．

admin2021-03-10 55

问题设A，B为n阶矩阵，且A，B等价，则下列结论正确的是( )．

选项 A、A与B相似
B、｜A｜＝｜B｜
C、A，B都可对角化
D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B

答案D

解析 A，B等价的充分必要条件是r(A)＝r(B)，
取A＝

，显然r(A)＝r(B)＝2，即A，B等价，
因为A，B特征值不同，所以A，B不相似，A不对；显然｜A｜≠｜B｜，B不对；
A为对角矩阵，显然B的特征值为λ₁＝λ₂＝1且r(E－B)＝1，矩阵B不可相似对角化，(C)不对，应选D．
事实上，因为A，B等价，所以存在初等矩阵P₁，P₂，…，P_s，Q₁，Q₂…，Q_t，使得
P₁P₂…P_sAQ₁Q₂…Q_t＝B，
令P＝P₁P₂…P_s，Q＝Q₁Q₂…Q_t，显然P，Q可逆且PAQ＝B．

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