2. 考研
  3. 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2018-06-27  133
问题 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．
选项
答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]=e-kx-kω[C+∫0xf(t)ektdt]． [*]C+∫0xf(t)ektdt=e-kω[C+∫0x+ωf(t)ektdt][*]e-kω[C+∫-ωxf(s+ω)eks+kωds] =Ce-kω+∫-ω0f(s)eksds+∫0xf(s)eksds． [*]∫-ω0f(s)eksds[*]∫0ωf(t)ektdt=[*]∫0ωf(t)ektdt． 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．
解析
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考研数学二

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