已知函数f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，且f(0)=0． (Ⅰ)求f(x)在区间[0，]上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．

admin2016-03-15 128

问题已知函数f(x)在[0，

]上连续，在(0，

)内是函数

的一个原函数，且f(0)=0．
(Ⅰ)求f(x)在区间[0，

]上的平均值；
(Ⅱ)证明f(x)在区间(0，

)内存在唯一零点．

选项

答案(I)f(x)在区间[0，[*]]上的平均值 [*] (Ⅱ)由题意，得[*](x)=[*]．当00∈[0，[*]]，使得f(x₀)=[*]>0，由于当x∈(0，[*]]时，f(x) <0，所以x₀∈([*]] 根据连续函数介值定理，存在ξ∈([*]，x₀)[*]([*])，使得f(ξ)=0．又因为当[*]0，所以f(x)在([*])内至多只有一个零点．

解析

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考研数学二

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计算极限．
求函数f(x)=，-1≤x≤1的表示式．
设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=在点x=0处()．
若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx(Cauchy-Schwarz不等式)；
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