已知平面曲线Aχ2＋2Bχy＋Cy2＝1 (C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，

admin2021-11-09 51

问题已知平面曲线Aχ²＋2Bχy＋Cy²＝1 (C＞0，AC－B²＞0)为中心在原点的椭圆，

选项

答案椭圆上点(χ，y)到原点的距离平方为d²＝χ²＋y²，条件为Aχ²＋2Bχy＋Cy²－1＝0．令F(χ，y，λ)＝χ²＋y²－λ(Aχ²＋2Bχy＋Cy²－1)，解方程组 [*] 将①式乘χ，②式乘y，然后两式相加得 [(1－Aλ)χ²－Bλχy]＋[－Bλχy＋(1－Cλ)y²]＝0，即χ²＋y²＝λ(Aχ²＋2Bχy＋Cy²)＝λ，于是可得d＝[*]．从直观知道，函数d²的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F_χ^′＝0，F_y^′＝0有非零解，其系数行列式应为零．即 [*] 该方程一定有两个根λ₁，λ₂，它们分别对应d²的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为 S＝[*]

解析

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考研数学二

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已知平面曲线Aχ2＋2Bχy＋Cy2＝1 (C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，

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