设函数y(x)连续，且满足∫1xy(t)dt一2y(x)=xx+1+∫01y(t)dt，求y(x)．

admin2018-06-14 57

问题设函数y(x)连续，且满足∫₁^xy(t)dt一2y(x)=x^x+1+∫₀¹y(t)dt，求y(x)．

选项

答案由y(x)连续可知∫₁^xy(t)dt可导，从而y(x)可导．将方程两端对x求导，得一阶线性微分方程 y(x)一2y’(x)=2x．解之可得通解y(x)=C[*]+2x+4．在原方程两端令x=1又有一2y(1)=2+∫₀¹y(t)dt，即 0=2+2y(t)+∫₀¹y(t)dt=2+2C[*]+12+∫₀¹(C[*]+2t+4)dt =14+2C[*]一1)+5．可确定常数C=[*]．

解析

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考研数学三

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