设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2018-11-20 44

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX=0的一个解，但是A^k-1α≠0．证明α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案用定义证明．方法一设c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0，要推出每个c_i=0．先用A^k-1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα=0(因为A^kX=0)，得到c₁A^k-1α=0．又因为A^k-1α≠0，所以c₁=0．上式变为c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0．再用A^k-2左乘之，可得到c₂=0．如此进行下去，可证明每个c_i=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0，设其中第一个不为0的系数是c_i，则c_iA^i-1α+…+c_kA^k-1α=0，用A^k-i乘之，得c_iA^k-1α=0．从而A^k-1α=0，与条件矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

考研数学三

设矩阵A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，则B=________．

设A，B都是三阶矩阵，A=且满足(A*)一1B=ABA+2A2，则B=________．

设Q为三阶非零矩阵，且PQ=0，则()．

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[*]被积函数为无理式，先作变量代换化为有理式后再计算．用换元积分法，作变量代换于是X=(t2一1)2，dx=4(t2一1)tdt．当x从0变到1时，t从1变到，从而

对任意两个随机事件A，B，已知P(A一B)=P(A)，则下列等式不成立的是()．

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵又A的伴随矩阵A有特征值λ0，λ0所对应的特征向量为α=[2，5，一1]T．(1)求λ0的值；(2)计算(A)一1；(3)计算行列式|A*+E|．

设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则σ2的无偏估计量为()．

设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n(n=1，2，…)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是()．

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