n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-03-23 56

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零
B、存在可逆矩阵P使P^—1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^TC
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析 A选项是必要不充分条件。这是因为R(f)=p+q≤n。
当q=0时，有R(f)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₃²。
B选项是充分不必要条件。这是因为P^—1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值都是1属于不必要条件。
C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如

显然矩阵不正定。
关于选项D，由于
A正定

A^*与E合同，
所以D选项是充分必要条件，故选D。

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考研数学二

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求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

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记平面区域D={(x，y)|x|+|y|≤1)，计算如下二重积分：(1)其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)，常数λ＞0．

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辛弃疾的词集是

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某变电所的三相35kV电容器采用单星形接线，每相由单台500kvar电容器并联组合而成，允许的单组最大组合容量是：

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