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(2007年)设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2.…).则下列结论正确的是
(2007年)设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2.…).则下列结论正确的是
admin
2019-07-12
63
问题
(2007年)设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令u
n
=f(n)(n=1,2.…).则下列结论正确的是
选项
A、若u
1
>u
2
则{u
n
)必收敛
B、若u
1
>u
2
,则{u
n
}必发散
C、若u
1
<u
2
则{u
n
}必收敛
D、若u
1
<u
2
,则{u
n
}必发散
答案
D
解析
解1 直接法:由拉格朗日中值定理知
u
2
一u
1
=f(2)一f(1)=f’(c) (1<c<2)
而 u
2
>u
1
,则f’(c)>0,
由于f"(x)>0,则f’(x)单调增,从而有f’(2)>f’(c)>0,由泰勒公式得,
由于f’(2)>0,则
从而
故{u
n
}发散.
解2 排除法:
令f(x)=(x一2)
2
,则f"(x)=2>0,u
1
=f(1)=1,u
2
=f(2)=0,u
1
>u
2
,但u
n
=f(n)=(n一2)
2
,
从而{u
n
}发散,则(A)不正确.
令f(x)=e—x
-x
,则f"(x)=e
-x
>0,
u
1
>u
2
而u
n
=f(n)=e
-n
,
则{u
n
}收敛,(B)不正确.
令f(x)=e
x
,则f"(x)=e
x
>0,且u
1
=f(1)=e,u
2
=f(2)=e
2
,u
1
2,而u
n
=f(n)=e
n
,
则{u
n
)发散,(C)不正确.由排除法知(D)正确.
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