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  3. (2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2．…)．则下列结论正确的是

(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2．…)．则下列结论正确的是

admin2019-07-12  53
问题 (2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2．…)．则下列结论正确的是
选项 A、若u1＞u2则{un)必收敛
B、若u1＞u2，则{un}必发散
C、若u1＜u2则{un}必收敛
D、若u1＜u2，则{un}必发散
答案D
解析 解1  直接法：由拉格朗日中值定理知
                    u2一u1=f(2)一f(1)=f’(c)  (1＜c＜2)
而  u2＞u1，则f’(c)＞0，
由于f"(x)＞0，则f’(x)单调增，从而有f’(2)＞f’(c)＞0，由泰勒公式得，
                 
    由于f’(2)＞0，则从而故{un}发散．
    解2  排除法：
    令f(x)=(x一2)2，则f"(x)=2>0，u1=f(1)=1，u2=f(2)=0，u1＞u2，但un=f(n)=(n一2)2，从而{un}发散，则(A)不正确．
    令f(x)=e—x-x，则f"(x)=e-x＞0，u1＞u2而un=f(n)=e-n，则{un}收敛，(B)不正确．
    令f(x)=ex，则f"(x)=ex＞0，且u1=f(1)=e，u2=f(2)=e2，u12，而un=f(n)=en，则{un)发散，(C)不正确．由排除法知(D)正确．
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