2. 考研
  3. 设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

admin2017-08-18  65
问题 设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．
选项
答案(I)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 [*] 而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意 [*] (II)转化．将方程①两边求导，则 方程①[*]f2(t)＝4f(t)∫0tf(x)dx＋f(t) [*]f(t)＝4∫0tf(x)dx＋1 (①中令x＝0，等式自然成立，不必另加条件)· f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得 方程①[*] ③ (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘μ(t)＝ [*]得[f(t)e—4t]’＝0，并由初始条件得f(t)＝e4t，即f(x)＝e4x．
解析
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考研数学一

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