设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

admin2018-01-23 51

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．
(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；
(2)设

，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

选项

答案(1)因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂，使得 k₁α₁＋k₂α₁＋l₁β₁＋l₂β₁＝0，或 k₁α₁＋k₂α₂＝－l₁β₁－l₂β₂．令γ＝k₁α₁＋k₂α₂＝－l₁β₁－l₂β₂，因为α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关，所以k₁，k₂及l₁，l₂都不全为零，所以γ≠0． (2)令k₁α₁＋k₂α₁＋l₁β₁＋l₂β₂＝0， [*] 所以γ＝kα₁－3kα₂＝－kβ₁＋0β₂．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

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