2. 考研
  3. 设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

admin2018-01-23  57
问题 设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．
(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；
(2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
选项
答案(1)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得 k1α1＋k2α1＋l1β1＋l2β1＝0，或 k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2． 令γ＝k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都 不全为零，所以γ≠0． (2)令k1α1＋k2α1＋l1β1＋l2β2＝0， [*] 所以γ＝kα1－3kα2＝－kβ1＋0β2．
解析
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考研数学三

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