设函数f(χ)与g(χ)在区间[a,b]上连续,证明:[∫abf(χ)g(χ)dχ]2≤∫abf2(χ)dχ∫abg2(χ)dχ. (*)

admin2016-10-21  36

问题 设函数f(χ)与g(χ)在区间[a,b]上连续,证明:[∫abf(χ)g(χ)dχ]2≤∫abf2(χ)dχ∫abg2(χ)dχ.  (*)

选项

答案把证明定积分不等式 (∫abf(χ)g(χ)g(χ)dχ)2≤∫abf2(χ)dχ∫abg2(χ)dχ (*) 转化为证明重积分不等式. 引入区域D={(χ,y)|a≤χ≤b,a≤y≤b} (*)式左端=∫abf(χ)g(χ)dχ.∫abf(y)g(y)dy =[*][f(χ)g(y).f(y)g(χ)]dχdy≤[*][f2(χ)g2(y)+f2(y)g2(χ)dχdy =[*]f2(χ)g2(y)dχdy+[*]f2(y)g2(χ)dχdy =[*]∫abf2(χ)dχ∫abg2(y)dy+[*]∫abf2(y)dy∫abg2(χ)dχ =∫abf2(χ)dχ∫abg2(y)dy=(*)式右端.

解析
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