[2005年] 设有三元方程xy—zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).

admin2019-04-08  25

问题 [2005年]  设有三元方程xy—zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(    ).

选项 A、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
B、可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
C、可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
D、可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

答案D

解析 仅D入选.F(x,y,z)=0,其中F(x,y,z)=xy—zlny+exy一1.显然,F在点(0,1,1)附近对x,y,z均有连续偏导数,且F(0,1,1)=0.
相应的三个偏导数为
F’z(0,1,1)=(lny+xexz)|(0,1,1)=0,
F’y(0,1,1)==一1≠0,
F’x(0,1,1)=(y+zexz)|(0,1,1)=2≠0.
由隐函数存在定理知,在点(0,1,1)的一个邻域内,由方程F(x,y,z)=xy—zlny+exz一1=0可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z),x=x(y,z).
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