2. 考研
  3. 已知齐次方程组为 其中ai≠0。讨论当a1，a2，…，an和6满足何种关系时： (Ⅰ)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。

已知齐次方程组为 其中ai≠0。讨论当a1，a2，…，an和6满足何种关系时： (Ⅰ)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。

admin2018-01-26  25
问题 已知齐次方程组为

其中ai≠0。讨论当a1，a2，…，an和6满足何种关系时：
(Ⅰ)方程组仅有零解；
(Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。
选项
答案对齐次线性方程组的系数矩阵A作初等变换，即 [*] (Ⅰ)当b≠0且b≠[*]ai时，R(A)=n，原方程组只有零解。 (Ⅱ)当b=0或b=[*]ai时，R(A)＜n，原方程组有非零解。 ①当b=0时， [*] R(A)=1，原方程组与a1x1+a2x2+…+anxn=0同解。 因为[*]ai≠0，所以a1，a2，…，an不全为0。不失一般性，设an≠0，则原方程组的一个基础解系(含n-1个线性无关的解向量)为 (an，0，…，0，-a1)T，(0，an，…，0，-a2)T，…， (0，0，…，an，-an-1)T。 ②当b=[*]ai时，因为[*]ai≠0，所以 [*] R(A)=n-1，原方程组的基础解系(含1个线性无关的解向量)为 (1，1，…，1，1)T。
解析
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考研数学一

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