已知齐次方程组为其中ai≠0。讨论当a1，a2，…，an和6满足何种关系时： (Ⅰ)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。

admin2018-01-26 41

问题已知齐次方程组为

其中

a_i≠0。讨论当a₁，a₂，…，a_n和6满足何种关系时：
(Ⅰ)方程组仅有零解；
(Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。

选项

答案对齐次线性方程组的系数矩阵A作初等变换，即 [*] (Ⅰ)当b≠0且b≠[*]a_i时，R(A)=n，原方程组只有零解。 (Ⅱ)当b=0或b=[*]a_i时，R(A)＜n，原方程组有非零解。 ①当b=0时， [*] R(A)=1，原方程组与a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0同解。因为[*]a_i≠0，所以a₁，a₂，…，a_n不全为0。不失一般性，设a_n≠0，则原方程组的一个基础解系(含n-1个线性无关的解向量)为 (a_n，0，…，0，-a₁)^T，(0，a_n，…，0，-a₂)^T，…， (0，0，…，a_n，-a_n-1)^T。 ②当b=[*]a_i时，因为[*]a_i≠0，所以 [*] R(A)=n-1，原方程组的基础解系(含1个线性无关的解向量)为 (1，1，…，1，1)^T。

解析

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考研数学一

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