已知线性方程组的通解为[2,1,0,1]T+k[1,一1,2,0]T.记a=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5.问:(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出,说明理由;(2) α4能否由α

admin2015-08-17  23

问题 已知线性方程组的通解为[2,1,0,1]T+k[1,一1,2,0]T.记a=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5.问:(1)α4能否由α1235线性表出,说明理由;(2) α4能否由α<

选项

答案(1)α4能由α1235线性表出.由线性非齐次方程组的通解[2,1,0,1]T+k[-1,一1,2,0]T知α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα34,故α4=一(k+2)α1一(一k+1)α2—2kα35. (2)α4不能由α123线性表出,因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量,故r(α1234a)=r(α12345)=4—1=3,且由对应齐次方程组的通解知,α1一α2+2α3=0,即α123线性相关,r(α123)<3,若α4能由α123线性表出,则r(α4123)=r(α123)<3,这和r(α1234)=3矛盾,故α4不能由α123线性表出.

解析
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