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  3. 已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2) α4能否由α

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2) α4能否由α

admin2015-08-17  39
问题 已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2) α4能否由α<
选项
答案(1)α4能由α1,α2,α3,α5线性表出．由线性非齐次方程组的通解[2，1，0，1]T+k[-1，一1，2，0]T知α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4，故α4=一(k+2)α1一(一k+1)α2—2kα3+α5． (2)α4不能由α1,α2,α3线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故r(α1,α2,α3,α4a)=r(α1,α2,α3,α4,α5)=4—1=3，且由对应齐次方程组的通解知，α1一α2+2α3=0，即α1,α2,α3线性相关，r(α1,α2,α3)＜3，若α4能由α1,α2,α3线性表出，则r(α4,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)＜3，这和r(α1,α2,α3,α4)=3矛盾，故α4不能由α1,α2,α3线性表出．
解析
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考研数学一

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