2. 考研
  3. [2002年] 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3 ，α4 ]，α1，α2，α3 ，α4 均为四维列向量，其中α2，α3 ，α4 线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3 +α4 ，求线性方程组AX=β的通解．

[2002年] 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3 ，α4 ]，α1，α2，α3 ，α4 均为四维列向量，其中α2，α3 ，α4 线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3 +α4 ，求线性方程组AX=β的通解．

admin2019-05-10  25
问题 [2002年]  已知四阶方阵A=[α1，α2，α3 ，α4 ]，α1，α2，α3 ，α4 均为四维列向量，其中α2，α3 ，α4 线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3 +α4 ，求线性方程组AX=β的通解．
选项
答案 利用方程组的向量形式和解的结构定理求解． 因AX=β的系数矩阵和增广矩阵均为抽象矩阵，用初等行变换求解是行不通的，必须充分利用已给的增广矩阵的列向量之间的线性关系和解的结构定理求解． 因α2，α3 ，α4 线性无关及α1=2α2一α3=2α2一α3+0α4，故秩([α1，α2，α3 ，α4 ])=秩(A)=3．于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量，将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式分别为 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， ① x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β． ② 现已知 α1一2α2+α3=α1一2α2+α3+0α4=0， ③ 将式③与式①比较即知齐次方程组①的一个解向量为α=[1，一2，1，0]T． 又将α1+α2+α3 +α4 =β与方程组②比较即知，方程组②的一个特解为η=[1，1，1，1]T， 故AX=β的通解为 kα+η=k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T (k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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