设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量. 若A2α+Aα一6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;

admin2017-11-13  24

问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
若A2α+Aα一6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;

选项

答案由A2α+Aα一6α=0,得(A2+A一6E)α=0,因为α≠0,所以r(A2+A一6E)<2,从而|A2+A一6E|=0,即|3E+A|.|2E—A|=0,则|3E+A|=0或|2E—A|=0. 若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E—A)α=0,得 (2E—A)α=0,即Aα=2α,矛盾; 若|2E—A|≠0,则2E—A可逆,由(2E-A)(3E+A)α=0,得 (3E+A)α=0,即Aα=一3α,矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E—A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值一3,2,故A可对角化.

解析
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