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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明: (Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=; (Ⅱ)存在互不相同的ξ,n∈(0,1),
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明: (Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=; (Ⅱ)存在互不相同的ξ,n∈(0,1),
admin
2020-01-15
29
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明:
(Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=
;
(Ⅱ)存在互不相同的ξ,n∈(0,1),
选项
答案
(Ⅰ)根据已知条件,存在a∈(0,1),使得f(a)=M。令F(x)=f(x)[*] 显然F(x)在[0,1]上连续,又因为f(0)=0,n>1,故 F(0)=f(0)[*] F(a)=f(a)[*] 由零点定理可知,至少存在一点c∈(0,a),使得F(c)=f(c)[*]即f(c)=[*] (Ⅱ)在[0,c],[c,1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内的可导,则存在ξ∈(0,c)和η∈(c,1),使得 f(c)-f(0)=cf’(ξ),① f(1)-f(c)=(1-c)f’(η),② 由[*]结合f(0)=f(1)=0可得, [f’(η)-f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η),再由结论[*]可知, [*] [*]
解析
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考研数学一
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