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  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1) T满足Aα=2α． 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1) T满足Aα=2α． 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2019-01-25  71
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1) T满足Aα=2α．
求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．
选项
答案先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，一4． 再求单位正交特征向量组 属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解． [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组：x1一x2一x3=0． 显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，一1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化： 记η1=β1/||β1||=[*]β1， η2=β2/||β2||=[*]β2. 属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解． 求出β3=(1，一1，一1)T是一个解，单位化： 记η3=β3/||β3||=[*]β3. 则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4． 作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4． 作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22一4y32．
解析
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考研数学一

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