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  3. 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为

设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为

admin2017-04-24  46
问题 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 记(D)中的矩阵为D，则由

知A与D有相同的特征值3与一1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使PTAP=QTDQ，QPTAPQT=D，或(PQT)A(PQT)=D，其中PQT可逆，所以A与D合同．
由于|A|=|D|=一3＜0，因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型xTAx及二次型xTDx有相同的规范形z12一z22，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵C1，C2，使C1TAC1==C2TDC2，由此得(C1C2一1)TA(C1C2一1)=D，且C1C一1可逆，故A与D合同．
对于二次型f(x1，x2)=xTAx=x12+4x1x2+x22，由于f(1，0)=1＞0，f(一2，1)=一3＜0，所以A是不定的，由顺序主子式法知备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵都不与矩阵A合同，只有备选项(D)正确(也易判定(D)中的矩阵是不定的)．
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考研数学二

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