设A=,则在实数域上与A合同的矩阵为

admin2017-04-24  40

问题 设A=,则在实数域上与A合同的矩阵为

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析 记(D)中的矩阵为D,则由

知A与D有相同的特征值3与一1,它们又都是实对称矩阵,因此存在正交矩阵P与Q,使PTAP=QTDQ,QPTAPQT=D,或(PQT)A(PQT)=D,其中PQT可逆,所以A与D合同.
由于|A|=|D|=一3<0,因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是),从而知二次型xTAx及二次型xTDx有相同的规范形z12一z22,从矩阵角度讲,就是存在可逆矩阵C1,C2,使C1TAC1==C2TDC2,由此得(C1C2一1)TA(C1C2一1)=D,且C1C一1可逆,故A与D合同.
对于二次型f(x1,x2)=xTAx=x12+4x1x2+x22,由于f(1,0)=1>0,f(一2,1)=一3<0,所以A是不定的,由顺序主子式法知备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的,由于合同的矩阵有相同的正(负)定性,因此备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵都不与矩阵A合同,只有备选项(D)正确(也易判定(D)中的矩阵是不定的).
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