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设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为
设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为
admin
2017-04-24
58
问题
设A=
，则在实数域上与A合同的矩阵为
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
记(D)中的矩阵为D，则由
知A与D有相同的特征值3与一1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使P
T
AP=
Q
T
DQ，
QP
T
APQ
T
=D，或(PQ
T
)A(PQ
T
)=D，其中PQ
T
可逆，所以A与D合同．
由于|A|=|D|=一3＜0，因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型x
T
Ax及二次型x
T
Dx有相同的规范形z
1
2
一z
2
2
，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵C
1
，C
2
，使C
1
T
AC
1
=
=C
2
T
DC
2
，由此得(C
1
C
2
一1
)
T
A(C
1
C
2
一1
)=D，且C
1
C
一1
可逆，故A与D合同．
对于二次型f(x
1
，x
2
)=x
T
Ax=x
1
2
+4x
1
x
2
+x
2
2
，由于f(1，0)=1＞0，f(一2，1)=一3＜0，所以A是不定的，由顺序主子式法知备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项(A)、(B)、(C)中的矩阵都不与矩阵A合同，只有备选项(D)正确(也易判定(D)中的矩阵是不定的)．
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考研数学二
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