2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．

设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．

admin2017-07-26  38
问题 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值．
选项
答案由于α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，于是有Aα=λ1α且αTα=1，从而 Bα=(A一λ1ααT)α=Aα—λ1ααTα=λ1α—λ1α=0=0．α，故0为B的一个特征值，且α为对应的特征向量． 设β为A的对应于特征值λ2的特征向量，则有Aβ=λ2β，由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是有αTβ=0，从而 Bα=(A—λ2ααT)β=Aβ一λ1ααTβ=λ2β一0=λ2β， 故λ2为B的一个特征值，且β为对应的特征向量．所以，B的特征值必有0和λ2．
解析
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考研数学三

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