设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.

admin2017-07-26  25

问题 设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.

选项

答案由于α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,于是有Aα=λ1α且αTα=1,从而 Bα=(A一λ1ααT)α=Aα—λ1ααTα=λ1α—λ1α=0=0.α,故0为B的一个特征值,且α为对应的特征向量. 设β为A的对应于特征值λ2的特征向量,则有Aβ=λ2β,由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,于是有αTβ=0,从而 Bα=(A—λ2ααT)β=Aβ一λ1ααTβ=λ2β一0=λ2β, 故λ2为B的一个特征值,且β为对应的特征向量.所以,B的特征值必有0和λ2

解析
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