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设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.
设λ1,λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量,求矩阵B=A—λ1ααT的两个特征值.
admin
2017-07-26
25
问题
设λ
1
,λ
2
是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,α是A的对应于特征值λ
1
的一个单位特征向量,求矩阵B=A—λ
1
αα
T
的两个特征值.
选项
答案
由于α是A的对应于特征值λ
1
的一个单位特征向量,于是有Aα=λ
1
α且α
T
α=1,从而 Bα=(A一λ
1
αα
T
)α=Aα—λ
1
αα
T
α=λ
1
α—λ
1
α=0=0.α,故0为B的一个特征值,且α为对应的特征向量. 设β为A的对应于特征值λ
2
的特征向量,则有Aβ=λ
2
β,由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,于是有α
T
β=0,从而 Bα=(A—λ
2
αα
T
)β=Aβ一λ
1
αα
T
β=λ
2
β一0=λ
2
β, 故λ
2
为B的一个特征值,且β为对应的特征向量.所以,B的特征值必有0和λ
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WgH4777K
0
考研数学三
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