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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内,g(x)≠0.
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内,g(x)≠0.
admin
2021-07-15
41
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明:
在(a,b)内,g(x)≠0.
选项
答案
反证法: 设存在一点c∈(a,b),g(c)=0,由g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上两次运用罗尔定理可得,g’(ξ
1
)=g’(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),对g’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上运用罗尔定理可得g"(ξ
3
)=0,其中ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
),与已知g"(x)≠0矛盾,故g(c)≠0.
解析
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考研数学二
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