2. 考研
  3. 设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明： 在（a,b)内，g(x)≠0.

设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明： 在（a,b)内，g(x)≠0.

admin2021-07-15  28
问题 设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明：
在（a,b)内，g(x)≠0.
选项
答案反证法： 设存在一点c∈(a,b),g(c)=0,由g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上两次运用罗尔定理可得，g’(ξ1)=g’(ξ2)=0,其中ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),对g’(x)在[ξ1,ξ2]上运用罗尔定理可得g"(ξ3)=0,其中ξ3∈（ξ1，ξ2），与已知g"(x)≠0矛盾，故g(c)≠0.
解析
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考研数学二

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