设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明：在（a,b)内，g(x)≠0.

admin2021-07-15 29

问题设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明：
在（a,b)内，g(x)≠0.

选项

答案反证法：设存在一点c∈(a,b),g(c)=0,由g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上两次运用罗尔定理可得，g’(ξ₁)=g’(ξ₂)=0,其中ξ₁∈(a,c),ξ₂∈(c,b),对g’(x)在[ξ₁,ξ₂]上运用罗尔定理可得g"(ξ₃)=0,其中ξ₃∈（ξ₁，ξ₂），与已知g"(x)≠0矛盾，故g(c)≠0.

解析

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