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  3. (08年)(I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续。则至少存在一点η∈[a，b]．使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数．且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx则至少存在

(08年)(I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续。则至少存在一点η∈[a，b]．使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数．且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx则至少存在

admin2018-07-27  160
问题 (08年)(I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续。则至少存在一点η∈[a，b]．使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；
    (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数．且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ“(ξ)＜0．
选项
答案(I)设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b] 由定积分性质，有 m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b一a) 即[*] 由连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]．使得f(η)=[*] 即 ∫abf(x)dx=f(η)(b一a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，可知至少存在一点η∈[2,3]，使 ∫23φ(x)dx=φ(η)(3一2)=φ(n) 又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)知，2＜η≤3. 对φ(x)在[1,2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)，得 [*] 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 [*]
解析
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考研数学二

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