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(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2014-08-19
75
问题
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且
试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
由题设,引入变上限定积分形式的辅助函数[*]则由已知条件知F(π)=0=F(0),此外,由[*],有[*]即[*]则由积分中值定理知存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0.又当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,所以F(ξ)=0.由此知F(0)=F(ξ)=F(π)=0,0<ξ<π,对F(x)在区间[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔定理,则至少存在ξ
1
∈(0,ξ)和ξ
2
∈(ξ,π),使得F(ξ
1
)=f
’
(ξ
2
)=0,此即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0,[评注]也可直接由已知条件[*],应用积分中值定理,则存在ξ
1
∈(0,π),使得[*]即f(ξ
1
)=0,其中0<ξ
1
<π.假设(0,π)内仅有一个点ξ
1
,使f(ξ
1
)=0,则由[*]可知f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
2
,π)异号,不失一般性,设(0,ξ
1
)内f(x)>0,从而(ξ
1
,π)内f(x)<0,结合另一已知条件[*]及cosx在[0,π]上的单调性,有[*][*]此为矛盾,因此假设不成立,必至少存在另一点ξ
2
∈(0,π)且ξ
2
≠ξ
1
,使得f(ξ
2
)=0,至此,原命题同样得证.证明价值性问题,往往用中值定理,证明f(x)有k个零点的一个有效方法是证明它的原函数有k+1个零点.注意[*]为f(x)的一个特殊的原函数.
解析
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考研数学二
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