首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2014-08-19
70
问题
(2000年试题,八)设函f(x)在[0,π]上连续,且
试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
由题设,引入变上限定积分形式的辅助函数[*]则由已知条件知F(π)=0=F(0),此外,由[*],有[*]即[*]则由积分中值定理知存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0.又当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,所以F(ξ)=0.由此知F(0)=F(ξ)=F(π)=0,0<ξ<π,对F(x)在区间[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔定理,则至少存在ξ
1
∈(0,ξ)和ξ
2
∈(ξ,π),使得F(ξ
1
)=f
’
(ξ
2
)=0,此即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0,[评注]也可直接由已知条件[*],应用积分中值定理,则存在ξ
1
∈(0,π),使得[*]即f(ξ
1
)=0,其中0<ξ
1
<π.假设(0,π)内仅有一个点ξ
1
,使f(ξ
1
)=0,则由[*]可知f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
2
,π)异号,不失一般性,设(0,ξ
1
)内f(x)>0,从而(ξ
1
,π)内f(x)<0,结合另一已知条件[*]及cosx在[0,π]上的单调性,有[*][*]此为矛盾,因此假设不成立,必至少存在另一点ξ
2
∈(0,π)且ξ
2
≠ξ
1
,使得f(ξ
2
)=0,至此,原命题同样得证.证明价值性问题,往往用中值定理,证明f(x)有k个零点的一个有效方法是证明它的原函数有k+1个零点.注意[*]为f(x)的一个特殊的原函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ok34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。
设平面区域D由曲线与x轴围成,则D绕x轴旋转所成的旋转体的体积为________.
当x→0时,是x7的()
(1)求函数f(x)=的幂级数展开式;(2)利用(1)的结果求级数的和。
设y≠1,微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。
设相互独立的两个随机变量X和Y具有相同的分布,且X~,令Z=max{X2,Y2},则EZ=________。
设A,B均为三阶矩阵,将A的第一行加到第二行得到A1,将B的第二列和第三列交换得到B1,若A1B1=,则AB=__________。
设A为三阶实对称矩阵,α1=(m,一m,1)T是方程组AX=0的解,α2=(m,1,1一m)T是方程组(A+E)X=0的解,则m=_________.
设方程y”-6y’+9y=e3x的解y(x)满足y(0)=0,且在点(0,0)处有水平切线.求y=y(x);
设y=f(x)在x≥0上有严格单调递增的连续导函数,且f(0)=0,它的反函数为x=g(y),证明:不等式∫0af(x)dx+∫0bdy≥ab.
随机试题
冲砂一般要冲至人工井底或油层底界以下()。
A射血分数B每搏输出量C心动周期D每分输出量E心指数以单位体表面积计算的心输出量
下列不属于固定阳极X线管组成的是
更易患口腔念珠菌病的人群为
不是经络的作用的是()
根据《建设工程施工劳务分包合同(示范文本)》(GF一2003—0214),由劳务分包人负责办理并支付保险费的是()。
项目规模评估的方法主要有两类()。
在“对话一互动”式教学过程中,教师和学生的关系是()。
有如下两个类定义classXX{private:doublexl;protected:dOublex2;public:doublex3;};classYY:prot
Atattoomaygiveparentsofchildrenwithfoodallergiessomepeaceofmindwhentheysendtheirkidsofftoschool.Yes,atat
最新回复
(
0
)