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  3. (2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

(2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2014-08-19  111
问题 (2000年试题，八)设函f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案由题设，引入变上限定积分形式的辅助函数[*]则由已知条件知F(π)=0=F(0)，此外，由[*]，有[*]即[*]则由积分中值定理知存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0．又当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，所以F(ξ)=0．由此知F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0<ξ<π，对F(x)在区间[0，ξ]和[ξ，π]上分别应用罗尔定理，则至少存在ξ1∈(0，ξ)和ξ2∈(ξ，π)，使得F(ξ1)=f’(ξ2)=0，此即f(ξ1)=f(ξ2)=0，[评注]也可直接由已知条件[*]，应用积分中值定理，则存在ξ1∈(0，π)，使得[*]即f(ξ1)=0，其中0<ξ1<π．假设(0，π)内仅有一个点ξ1，使f(ξ1)=0，则由[*]可知f(x)在(0，ξ1)内与(ξ2，π)异号，不失一般性，设(0，ξ1)内f(x)>0，从而(ξ1，π)内f(x)<0，结合另一已知条件[*]及cosx在[0，π]上的单调性，有[*][*]此为矛盾，因此假设不成立，必至少存在另一点ξ2∈(0，π)且ξ2≠ξ1，使得f(ξ2)=0，至此，原命题同样得证．证明价值性问题，往往用中值定理，证明f(x)有k个零点的一个有效方法是证明它的原函数有k+1个零点．注意[*]为f(x)的一个特殊的原函数．
解析
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考研数学二

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