2. 考研
  3. 设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝s且A有两个不同的特征值． 试证A可对角化，并求对角阵A；

设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝s且A有两个不同的特征值． 试证A可对角化，并求对角阵A；

admin2019-08-27  59
问题 设A是一个n阶方阵，满足A2＝A，R(A)＝s且A有两个不同的特征值．
试证A可对角化，并求对角阵A；
选项
答案设λ是A的特征值，由于A2＝A，所以λ2＝λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1． 又因为A2＝A，即A(A－E)＝O，故R(A)＋R(A－E)＝n．事实上，因为A(A－E)＝O，所以R(A)＋R(A－E)≤n． 另一方面，由于E－A与A－E的秩相同，则有 n＝R(E)＝R[(E－A)＋A]≤R(A)＋R(E－A)＝R(A)＋R(A－E)， 从而R(A)＋R(A－E)＝n． 当λ＝1时，因为R(A－E)＝n－R(A)＝n－s，从而齐次线性方程组(E－A)x＝0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηs． 当λ＝0时，因为R(A)＝s，从而齐次线性方程组(0?E－A)x＝0的基础解系含n－s个解向量．因此，A属于特征值0有n－s个线性无关的特征向量，记为ηs＋1，ηs＋2，…，ηn． 于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为[*]
解析
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考研数学一

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