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设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，
admin
2016-08-14
97
问题
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x
2
+y
2
一xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75一x
2
一y
2
+xy
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界曲线x
2
+y
2
一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
选项
答案
令f(x，y)=g
2
(x，y)=5x
2
+5y
2
一8xy 由题意，只需求f(x，y)在约束条件75一x
2
-y
2
+xy=0下的最大值点．令 L(x，y，λ)=5x
2
+5y
2
一8xy+λ(75一x
2
一y
2
+xy)则 [*] ①式与②式相加可得 (x+y)(2一λ)=0 从而得y=一x或λ=2 若λ=2，则由①式得y=x，再由③式得[*] 若y=一x，则由③式得x=±5，y=±5． 于是得到四个可能的极值点 [*] 由于f(M
1
)=f(M
2
)=450，f(M
3
)=f(M
4
)=150 故 M
1
(5，一5)或M
2
(一5，5)可作为攀登的起点．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bZw4777K
0
考研数学一
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