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[2016年] 已知矩阵A=. 求A99;
[2016年] 已知矩阵A=. 求A99;
admin
2021-01-19
90
问题
[2016年] 已知矩阵A=
.
求A
99
;
选项
答案
先证A与对角矩阵相似,则可利用命题2.5.5.2(1)求出A
99
.由∣λE—A∣=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0知,A有3个不相等的特征值,由命题2.5.3.2(1)知A可相似对角化.下面求可逆矩阵P使 P
-1
AP=Λ=diag(0,一1,一2). 为此求出A的3个线性无关的特征向量. 当λ
1
=0时,解(0E—A)X=0,即AX=0.由 [*] 及基础解系的简便求法得特征向量a=(3/2,1,1)
T
.取特征向量a
1
=[3,2,2]
T
. 当λ
2
=一1时,解(一E—A)X=0.由 一E—A=[*] 及基础解系的简便求法即得特征向量b
2
=[1,1,0]
T
. 当λ
3
=一2时,解(一2E—A)X=0.由 一2E—A=[*] 及基础解系的简便求法即得对应于λ
3
=一2的特征向量c=[1/2,1,0]
T
,取c=[1,2,0]
T
. 令P=[a
1
,b
2
,c
3
].因它们属于不同特征值的特征向量,故a
1
,b
2
,c
3
线性无关,P为可逆矩阵,且P
-1
AP=Λ=diag(0,一1,一2),即A=PΛP
-1
,则 [*]
解析
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考研数学二
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