设A是n阶反对称矩阵． (1)证明：对任何n维列向量α，恒有αTAα=0． (2)证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

admin2017-07-26 45

问题设A是n阶反对称矩阵．
(1)证明：对任何n维列向量α，恒有α^TAα=0．
(2)证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

选项

答案(1)因为α^TAα是1×1矩阵，是一个数，故 α^TAα=(α^TAα)^T=α^TA^T(α^T)^T=一α^TAα．所以恒有α^TAα=0． (2)(反证法)．如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解，设其为η，于是有 Aη=一cη，η≠0．左乘η^T，得 η^TAη=一cη^Tη≠0．与(1)矛盾．故矩阵A+cE恒可逆．

解析

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考研数学三

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