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设A是n阶反对称矩阵. (1)证明:对任何n维列向量α,恒有αTAα=0. (2)证明:对任何非零常数c,矩阵A+cE恒可逆.
设A是n阶反对称矩阵. (1)证明:对任何n维列向量α,恒有αTAα=0. (2)证明:对任何非零常数c,矩阵A+cE恒可逆.
admin
2017-07-26
40
问题
设A是n阶反对称矩阵.
(1)证明:对任何n维列向量α,恒有α
T
Aα=0.
(2)证明:对任何非零常数c,矩阵A+cE恒可逆.
选项
答案
(1)因为α
T
Aα是1×1矩阵,是一个数,故 α
T
Aα=(α
T
Aα)
T
=α
T
A
T
(α
T
)
T
=一α
T
Aα. 所以恒有α
T
Aα=0. (2)(反证法).如果矩阵A+cE不可逆,则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解,设其为η, 于是有 Aη=一cη,η≠0. 左乘η
T
,得 η
T
Aη=一cη
T
η≠0.与(1)矛盾. 故矩阵A+cE恒可逆.
解析
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考研数学三
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