2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵． (1)证明：对任何n维列向量α，恒有αTAα=0． (2)证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

设A是n阶反对称矩阵． (1)证明：对任何n维列向量α，恒有αTAα=0． (2)证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

admin2017-07-26  58
问题 设A是n阶反对称矩阵．
  (1)证明：对任何n维列向量α，恒有αTAα=0．
  (2)证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．
选项
答案(1)因为αTAα是1×1矩阵，是一个数，故 αTAα=(αTAα)T=αTAT(αT)T=一αTAα． 所以恒有αTAα=0． (2)(反证法)．如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解，设其为η， 于是有 Aη=一cη，η≠0． 左乘ηT，得 ηTAη=一cηTη≠0．与(1)矛盾． 故矩阵A+cE恒可逆．
解析
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考研数学三

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