设n维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是

admin2020-02-27  32

问题 设n维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是

选项 A、α1,α2,…,αs中任何r一1个向量必线性无关.
B、α1,α2,…,αs中任何r个向量必线性无关.
C、如果s>n,则αs必可由α1,α2,…,αs-1线性表示.
D、如果r=n,则任何n维向量必可由α1,α2,…,αs线性表示.

答案D

解析 r(α1,α2,…,αs)=rα1,α2,…,αs中一定存在r个向量线性无关,而任意r+1个向量必线性相关.
    当向量组的秩为r时,向量组中既可以有r—1个向量线性相关,也可以有r个向量线性相关,故(A)、(B)均错误.例如向量α1,α2,α3,α4分别为
    (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),
其秩为3,其中α1,α4线性相关,α1,α2,α4也线性相关.该例说明,4维向量可以有2个向量线性相关,也可以有3个向量线性相关.但肯定有3个向量线性无关.
    当s>n时,表明α1,α2,…,αs必线性相关,此时有αi可以由α1,…,αi-1,αi+1,…,αs线性表示,但αs不一定能由α1,…,αs-1线性表示.故(C)不正确.
    若r(α1,α2,…,αs)=n,则对任何n维向量β必有r(α1,α2,…,αs,β)=n.故(D)正确.因此应诜(D).
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