(Ⅰ)求累次积分 (Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，记I=∫01f(x)dx，求证：I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx， (Ⅲ)求出I的值．

admin2017-11-23 67

问题 (Ⅰ)求累次积分

(Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+

∫_x¹f(y)f(y一x)dy，记I=∫₀¹f(x)dx，
求证：I=1+

∫₀¹f(y)dy∫₀^yf(y一x)dx，
(Ⅲ)求出I的值．

选项

答案(Ⅰ) 将J表示成 [*] 其中D：0≤y≤1，[*]，如图所示， [*] 现改换成先y后x的积分顺序得 [*] (Ⅱ)因为f(x)=1+[*]∫_x¹f(y)f(y一x)dy，所以在[0，1]上积分上式可得 I=∫₀¹f(x)dx=1+[*]∫₀¹dx∫_x¹f(y)f(y一x)dy．将累次积分表示成二重积分后交换积分顺序，可得 [*] (其中D₀如图) [*] (Ⅲ)为求I值，再对内层积分作变量替换并凑微分可得 [*]

解析

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