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(Ⅰ)求累次积分 (Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy,记I=∫01f(x)dx, 求证:I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx, (Ⅲ)求出I的值.
(Ⅰ)求累次积分 (Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy,记I=∫01f(x)dx, 求证:I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx, (Ⅲ)求出I的值.
admin
2017-11-23
27
问题
(Ⅰ)求累次积分
(Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+
∫
x
1
f(y)f(y一x)dy,记I=∫
0
1
f(x)dx,
求证:I=1+
∫
0
1
f(y)dy∫
0
y
f(y一x)dx,
(Ⅲ)求出I的值.
选项
答案
(Ⅰ) 将J表示成 [*] 其中D:0≤y≤1,[*], 如图所示, [*] 现改换成先y后x的积分顺序得 [*] (Ⅱ)因为f(x)=1+[*]∫
x
1
f(y)f(y一x)dy,所以在[0,1]上积分上式可得 I=∫
0
1
f(x)dx=1+[*]∫
0
1
dx∫
x
1
f(y)f(y一x)dy. 将累次积分表示成二重积分后交换积分顺序,可得 [*] (其中D
0
如图) [*] (Ⅲ)为求I值,再对内层积分作变量替换并凑微分可得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/X8r4777K
0
考研数学一
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