设f(x)满足f’(﹣x)＝x[f’(x)－1]，f(0)＝0，求f(x)的极值

admin2022-06-09 36

问题设f(x)满足f’(﹣x)＝x[f’(x)－1]，f(0)＝0，求f(x)的极值

选项

答案f’(－x)＝x[f’(x)－1] ① 令t＝－x，则f’(t)＝－t［f’(－t)－1]，即 xf’(－x)＋f’(x)＝x ② 由式①和式②，解得f’(x)＝x²＋x/ x²＋1，积分，得 [*] 于是有 f(x)－f(0)＝f(x)＝1/2ln(1＋x³)＋x－arctan x 令f’(x)＝x²＋x/ x²＋1＝0，x₁＝0，x₂＝－1， [*]，f’’(0)＝1＞0，f’’(－1)＝－1/2＜0 故f(0)＝0为f(x)的极小值，f(－1)＝1/2ln 2＋π/4－1为f(x)的极大值

解析

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