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设函数f(x)在[1,+∞)上可导,∫(1)=一2,f’(ex+1)=3e2x-3. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
设函数f(x)在[1,+∞)上可导,∫(1)=一2,f’(ex+1)=3e2x-3. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
admin
2020-10-30
94
问题
设函数f(x)在[1,+∞)上可导,∫(1)=一2,f’(e
x
+1)=3e
2x
-3.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)求由x=1,x=2,y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积.
选项
答案
(Ⅰ)令e
x
+1=t,则e
x
=t=1,从而f’(t)=3(t-1)
2
-3,即f’(t)=3t
2
-6t.上式两边对t积分,得f(t)=t
3
-3t
2
+c,由f(1)=-2,得C=0,所以f(t)=t
3
-3t
2
,即f(x)=x
3
-3x
2
. (Ⅱ)由x=1,x=2。y=f(x)及x轴围成的图形如下图所示.该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为[*] [*] 该图形绕x=2旋转一周所成旋转体的体积为 [*]
解析
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考研数学三
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