2. 考研
  3. 设函数f(x)在[1，＋∞)上可导，∫(1)＝一2，f’(ex+1)＝3e2x－3． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求由x＝1，x＝2，y＝f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x＝2旋转一周所成旋转体的体积．

设函数f(x)在[1，＋∞)上可导，∫(1)＝一2，f’(ex+1)＝3e2x－3． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求由x＝1，x＝2，y＝f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x＝2旋转一周所成旋转体的体积．

admin2020-10-30  100
问题 设函数f(x)在[1，＋∞)上可导，∫(1)＝一2，f’(ex+1)＝3e2x－3．
  (Ⅰ)求f(x)的表达式；
  (Ⅱ)求由x＝1，x＝2，y＝f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x＝2旋转一周所成旋转体的体积．
选项
答案(Ⅰ)令ex＋1＝t，则ex＝t＝1，从而f’(t)＝3(t－1)2－3，即f’(t)＝3t2－6t．上式两边对t积分，得f(t)＝t3－3t2＋c，由f(1)＝－2，得C＝0，所以f(t)＝t3－3t2，即f(x)＝x3－3x2． (Ⅱ)由x＝1，x＝2。y＝f(x)及x轴围成的图形如下图所示．该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为[*] [*] 该图形绕x＝2旋转一周所成旋转体的体积为 [*]
解析
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考研数学三

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