2. 考研
  3. 设生产某产品的固定成本为10，而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x2，边际收入函数为MR=32—10x．试求： 使总利润最大的产量．

设生产某产品的固定成本为10，而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x2，边际收入函数为MR=32—10x．试求： 使总利润最大的产量．

admin2019-03-22  51
问题 设生产某产品的固定成本为10，而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x2，边际收入函数为MR=32—10x．试求：
使总利润最大的产量．
选项
答案解一 令L’(x)=－8+10x－3x2=0，得驻点x1=4／3，x2=2．由于L"(x)｜x=4/3=(10－6x)｜x=4/3=2＞0，故L(4／3)为L(x)的极小值(舍去)．由于L"(x)｜x=2=(10－6x)｜x=2=－2<0，故x=2为极大值点．L(2)为L(x)的极大值，即最大值，故当产量为2时总利润最大． 解二 利用最大利润原则求之．L(x)及37的含义同解一，则L’(x)=[R(x)－C(x)]’=R’(x)－C’(x)．L(x)取得最大值的必要条件为L’(x)=0，即 R’(x)=C’(x) (边际收益等于边际成本)． 由R’(x)=MR=32－10x=C’(x)=40－20x+3x2得到3x2－10x+8=(x-2)(3x－4)=0，故x1=2，x2=4／3． 再用L(x)取最大值的充分条件，即L"(x)＜0，亦即R"(x)＜C"(x)(即边际收益的变化率小于边际成本的变化率)确定最大利润点． 因R"(x)=－10，C"(x)=－20+6x．当x1=2时，有C"(x)｜x=2=－8，显然有R"(x)｜x=2=－10＜C"(x)｜x=2=－8，故x1=2为利润最大时的产量．另一方面，C"(x)｜x=4/3=(－20+6x)｜x=4/3=－12，因R"(x)｜x=4/3=－10＞C"(x)｜x=4/3=－12，故x2=4／3不是所求的利润最大时的产量．
解析
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考研数学三

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