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设生产某产品的固定成本为10,而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x2,边际收入函数为MR=32—10x.试求: 使总利润最大的产量.
设生产某产品的固定成本为10,而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x2,边际收入函数为MR=32—10x.试求: 使总利润最大的产量.
admin
2019-03-22
51
问题
设生产某产品的固定成本为10,而产量为x时的边际成本函数为MC=40—20x+3x
2
,边际收入函数为MR=32—10x.试求:
使总利润最大的产量.
选项
答案
解一 令L’(x)=-8+10x-3x
2
=0,得驻点x
1
=4/3,x
2
=2.由于L"(x)|
x=4/3
=(10-6x)|
x=4/3
=2>0,故L(4/3)为L(x)的极小值(舍去).由于L"(x)|
x=2
=(10-6x)|
x=2
=-2<0,故x=2为极大值点.L(2)为L(x)的极大值,即最大值,故当产量为2时总利润最大. 解二 利用最大利润原则求之.L(x)及37的含义同解一,则L’(x)=[R(x)-C(x)]’=R’(x)-C’(x).L(x)取得最大值的必要条件为L’(x)=0,即 R’(x)=C’(x) (边际收益等于边际成本). 由R’(x)=MR=32-10x=C’(x)=40-20x+3x
2
得到3x
2
-10x+8=(x-2)(3x-4)=0,故x
1
=2,x
2
=4/3. 再用L(x)取最大值的充分条件,即L"(x)<0,亦即R"(x)<C"(x)(即边际收益的变化率小于边际成本的变化率)确定最大利润点. 因R"(x)=-10,C"(x)=-20+6x.当x
1
=2时,有C"(x)|
x=2
=-8,显然有R"(x)|
x=2
=-10<C"(x)|
x=2
=-8,故x
1
=2为利润最大时的产量.另一方面,C"(x)|
x=4/3
=(-20+6x)|
x=4/3
=-12,因R"(x)|
x=4/3
=-10>C"(x)|
x=4/3
=-12,故x
2
=4/3不是所求的利润最大时的产量.
解析
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考研数学三
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