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设有旋转抛物面S:z=(χ2,y2)与平面П:2χ+2y+z+6=0,P0(χ0,y0,z0)是S上与平面П距离最近的点. (Ⅰ)求点P0及S与П的最短距离; (Ⅱ)、求S存P0、点的法线.并证明它与平面П垂直.
设有旋转抛物面S:z=(χ2,y2)与平面П:2χ+2y+z+6=0,P0(χ0,y0,z0)是S上与平面П距离最近的点. (Ⅰ)求点P0及S与П的最短距离; (Ⅱ)、求S存P0、点的法线.并证明它与平面П垂直.
admin
2018-06-12
45
问题
设有旋转抛物面S:z=
(χ
2
,y
2
)与平面П:2χ+2y+z+6=0,P
0
(χ
0
,y
0
,z
0
)是S上与平面П距离最近的点.
(Ⅰ)求点P
0
及S与П的最短距离;
(Ⅱ)、求S存P
0
、点的法线.并证明它与平面П垂直.
选项
答案
(Ⅰ)化为求解条件最值问题.设P(χ,y,z)为S上[*]点,P到П的距离 d=[*]|2χ+2y+z+6|. 求d存条件χ
2
+y
2
-2z=0下的最小值[*]求9d
2
=(2χ+2y+z+6)
2
在条件χ
2
+y
2
-2z=0下的最小值.用拉格朗日乘子法,令 F(χ,y,z,λ)=(2χ+2y+z+6)
2
+λ(χ
2
+y
2
-2z), 解方程组[*]=4(2χ+2y+z+6)+2λχ=0, ① [*]=4(2χ+2y+z+6)+2λy=0, ② [*]=2(2χ+2y+z+6)-2A=0, ③ [*]=χ
2
+y
2
-2z=0. ④ 由①,②,当λ≠0时得χ=y,代入②,③,④得 [*] 进一步解得 [*] 于是得χ=y=-2,z=4. 另λ=0时,对应[*]显然无解. 因此得唯一驻点P
0
(-2,-2,4).由于实际问题存在最小值,该P
0
点就是S上与П距离最近的点.P
0
点到П的距离d=[*]|2.(-2)+2.(-2)+4+6|=[*]. 就是旋转抛物面S到平面П的最短距离. (Ⅱ)旋转抛物面S:χ
2
+y
2
-2z=0上[*]点(χ,y,z)处的法向量为(2χ,2y,-2),S在点P
0
处的法向量η
1
=-2(2,2,1),П的法向量露η
2
=(2,2,1),η
1
∥η
2
因此S在P
0
的法线[*]与П垂直.
解析
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考研数学一
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