已知r(a1,a2,a3)=2,r(a2,a3,a4)=3,证明: (1)a1能由a2,a3线性表示; (2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.

admin2016-05-09  31

问题 已知r(a1,a2,a3)=2,r(a2,a3,a4)=3,证明:
    (1)a1能由a2,a3线性表示;
    (2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.

选项

答案(1)r(a1,a2,a3)=2<3[*]a1,a2,a3线性相关; 假设a1不能由a2,a3线性表示,则a1与a2,a3线性无关[*]a2,a3线性相关. 而由r(a2,a3,a4)=3[*]a2,a3,a4线性无关[*]a2,a3线性无关,与假设矛盾. 综上所述,a1必能由a2,a3线性表示. (2)由(1)的结论,a1可由a2,a3线性表示,则 若a4能由a1,a2,a3线性表示[*]a4能由a2,a3线性表示,即r(a2,a3,a4)<3与r(a2,a3,a4)=3矛盾,故a4不能由a1,a2,a3线性表示.

解析
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