设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2. 记 若α,β正交且均为单位向量,证明,在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2022-09-08  6

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2

若α,β正交且均为单位向量,证明,在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案由于A=2ααT+ββT,α与β正交,且α,β均为单位向量,所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2ααTα+ββTα=2α,由于A≠0,故A有特征值λ1=2. Aβ=(2ααT+ββT)β=β,由于β≠0,故A有特征值λ2=1. 又由于r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2<3, 故λ3=0是A的特征值 因此,f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析
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