2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2． 记 若α，β正交且均为单位向量，证明，在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2． 记 若α，β正交且均为单位向量，证明，在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2022-09-08  14
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2．
记
若α，β正交且均为单位向量，证明，在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案由于A=2ααT+ββT，α与β正交，且α，β均为单位向量，所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2ααTα+ββTα=2α，由于A≠0，故A有特征值λ1=2． Aβ=(2ααT+ββT)β=β，由于β≠0，故A有特征值λ2=1． 又由于r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2＜3， 故λ3=0是A的特征值 因此，f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学一

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