设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2．记若α，β正交且均为单位向量，证明，在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2022-09-08 13

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²．
记

若α，β正交且均为单位向量，证明，在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案由于A=2αα^T+ββ^T，α与β正交，且α，β均为单位向量，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2αα^Tα+ββ^Tα=2α，由于A≠0，故A有特征值λ₁=2． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，由于β≠0，故A有特征值λ₂=1．又由于r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2＜3，故λ₃=0是A的特征值因此，f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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