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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2. 记 若α,β正交且均为单位向量,证明,在正交变换下的标准形为2y12+y22.
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2. 记 若α,β正交且均为单位向量,证明,在正交变换下的标准形为2y12+y22.
admin
2022-09-08
11
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
.
记
若α,β正交且均为单位向量,证明,在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
由于A=2αα
T
+ββ
T
,α与β正交,且α,β均为单位向量,所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2αα
T
α+ββ
T
α=2α,由于A≠0,故A有特征值λ
1
=2. Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β,由于β≠0,故A有特征值λ
2
=1. 又由于r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2<3, 故λ
3
=0是A的特征值 因此,f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XIe4777K
0
考研数学一
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