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已知a>0,函数f(x)= 是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知a>0,函数f(x)= 是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
admin
2019-06-01
57
问题
已知a>0,函数f(x)=
是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
选项
答案
由(Ⅰ)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x
1
,x
2
∈(0,4)(x
1
<x
2
),使曲线y=f(x)在(x
1
,f(x
1
)),(x
2
,f(x
2
))两点处的切线互相垂直,则x
1
∈(0,a),x
2
∈(a,4),且f'(x
1
)·f'(x
2
)=-1,即[*]=-1.亦即x
1
+2a=[*](*).由x
1
∈(0,a),x
2
∈(a,4)得x
1
+2a∈(2a,3a),[*]. 故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3以)与集合B=[*]的交集非空. 因为[*]<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<[*]时,A∩B≠[*].综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,[*]).
解析
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