2. 公务员
  3. 已知a＞0，函数f(x)= 是否存在a，使函数y=f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知a＞0，函数f(x)= 是否存在a，使函数y=f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

admin2019-06-01  38
问题 已知a＞0，函数f(x)=
是否存在a，使函数y=f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
选项
答案由(Ⅰ)知，当a≥4时，f(x)在(0，4)上单调递减，故不满足要求． 当0＜a＜4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，4)上单调递增．若存在x1，x2∈(0，4)(x1＜x2)，使曲线y=f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0，a)，x2∈(a，4)，且f＇(x1)·f＇(x2)=－1，即[*]=－1．亦即x1+2a=[*](*)．由x1∈(0，a)，x2∈(a，4)得x1+2a∈(2a，3a)，[*]. 故(*)成立等价于集合A={x|2a＜x＜3以)与集合B=[*]的交集非空． 因为[*]＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜[*]时，A∩B≠[*]．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0，[*]).
解析
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