已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12,则a=__________.

admin2020-06-05  37

问题 已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12,则a=__________.

选项

答案2

解析 二次型xTAx必存在坐标变换x=Cy化其为标准形yTy,即实对称矩阵A必存在C使其与对角矩阵合同,即CTAC=.如果选择正交变换,即C是正交矩阵,那么=CTAC=C﹣1AC.这说明在正交变换下,A不仅与合同而且与=diag(λ1,λ2,λ3)相似,其中λi(i=1,2,3)是矩阵A的特征值.另一方面,在二次型yTy中,就是标准形平方项的系数.因此,二次型xTAx经正交变换化为标准形时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值.从而可得矩阵A的特征值是6,0,0.再由矩阵特征值的性质可知a+a+a=6+0+0,即a=2.
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