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  3. 已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x12＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝__________．

已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x12＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝__________．

admin2020-06-05  57
问题 已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x12＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝__________．
选项
答案2
解析 二次型xTAx必存在坐标变换x＝Cy化其为标准形yTy，即实对称矩阵A必存在C使其与对角矩阵合同，即CTAC＝．如果选择正交变换，即C是正交矩阵，那么＝CTAC＝C﹣1AC．这说明在正交变换下，A不仅与合同而且与＝diag(λ1，λ2，λ3)相似，其中λi(i＝1，2，3)是矩阵A的特征值．另一方面，在二次型yTy中，就是标准形平方项的系数．因此，二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值．从而可得矩阵A的特征值是6，0，0．再由矩阵特征值的性质可知a＋a＋a＝6＋0＋0，即a＝2．
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考研数学一

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