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  3. [2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2019-04-05  75
问题 [2015年]  已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex，  f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
选项
答案 由题设条件先求出f(x，y)的表达式，再由二元函数无条件极值判定的充分条件求出极值点及极值． 由f″xy(x，y)=2(y+1)ex得到 ∫f″xy(x，y)dy=∫2(y+1)exdy=(y+1)2ex+φ(x)， 即 f′x(x，y)=(y+1)2ex+φ(x)． 又∫f′x(x，y)dx=∫[(y+1)2ex+φ(x)]dx=(y+1)2ex+∫φ(x)dx+c， 即 f(x，y)=(y+1)2ex+∫0xφ(x)dx+c． 由f(0，y)=y2+2y得(y+1)2+c=y2+2y，解得c=一1，于是f(x，y)=(y+1)2ex+∫0xφ(x)dx一1．又由f′x(x，0)=(x+1)ex得 [(y+1)2ex+φ(x)]y=0=(x+1)ex∣y=0=(x+1)ex， 即ex+φ(x)=(x+1)ex，解得φ(x)=xex．故 f(x，y)=(y+1)2ex+∫0xxexdx一1=(y+1)2ex+(x－1)ex． 由[*] 由A=[*]∣(0，-1)=[(y+1)2ex+(x+1)ex]∣(0，1)=1， B=[*]∣(0，-1)=[2(y+1)ex]∣(0，-1)=0，C=[*]∣(0，-1)=2ex∣(0，-1)=2， 及AC—B2=2＞0，且A＞0，故(0，一1)为极小值点，且极小值为f(0，一1)=一1．
解析
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考研数学二

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