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[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex， f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
admin
2019-04-05
39
问题
[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
， f′
x
(x，0)=(x+1)e
x
，f(0，y)=y
2
+2y，求f(x，y)的极值．
选项
答案
由题设条件先求出f(x，y)的表达式，再由二元函数无条件极值判定的充分条件求出极值点及极值． 由f″
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
得到 ∫f″
xy
(x，y)dy=∫2(y+1)e
x
dy=(y+1)
2
e
x
+φ(x)， 即 f′
x
(x，y)=(y+1)
2
e
x
+φ(x)． 又∫f′
x
(x，y)dx=∫[(y+1)
2
e
x
+φ(x)]dx=(y+1)
2
e
x
+∫φ(x)dx+c， 即 f(x，y)=(y+1)
2
e
x
+∫
0
x
φ(x)dx+c． 由f(0，y)=y
2
+2y得(y+1)
2
+c=y
2
+2y，解得c=一1，于是f(x，y)=(y+1)
2
e
x
+∫
0
x
φ(x)dx一1．又由f′
x
(x，0)=(x+1)e
x
得 [(y+1)
2
e
x
+φ(x)]
y=0
=(x+1)e
x
∣
y=0
=(x+1)e
x
， 即e
x
+φ(x)=(x+1)e
x
，解得φ(x)=xe
x
．故 f(x，y)=(y+1)
2
e
x
+∫
0
x
xe
x
dx一1=(y+1)
2
e
x
+(x－1)e
x
． 由[*] 由A=[*]∣
(0，-1)
=[(y+1)
2
e
x
+(x+1)e
x
]∣
(0，1)
=1， B=[*]∣
(0，-1)
=[2(y+1)e
x
]∣
(0，-1)
=0，C=[*]∣
(0，-1)
=2e
x
∣
(0，-1)
=2， 及AC—B
2
=2＞0，且A＞0，故(0，一1)为极小值点，且极小值为f(0，一1)=一1．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XPV4777K
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考研数学二
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