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设矩阵,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求: (1)a的值. (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
设矩阵,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求: (1)a的值. (2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
admin
2020-09-25
75
问题
设矩阵
,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一,试求:
(1)a的值.
(2)正交矩阵Q,使Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(1)因为解不唯一,因此R(A,β)=R(A)<3,因此先化简增广矩阵. [*] 因此,我们得到[*]解得a=一2. (2)由(1)知|λE一A|=[*]=λ(λ一3)(λ+3), 因此A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=3,λ
3
=一3. ①当λ
1
=0时,一Ax=0同解于[*]解得特征向量α
1
=(1,1,1)
T
. ②当λ
2
=3时,(3E—A)x=0同解于[*]得特征向量α
2
=(一1,0,1)
T
. ③当λ
3
=一3时,(一3E—A)x=0同解于[*]得特征向量α
3
=(1,一2,1)
T
. 把α
1
,α
2
,α
3
单位化,得到[*] 令Q=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*]即得到Q
T
AQ=Q
-1
AQ=A=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XPx4777K
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考研数学三
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