2. 考研
  3. 设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

admin2019-03-13  107
问题 设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________
选项
答案k(1，-1，1)T，k≠0
解析 令B=αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0．
  那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．
    因为λ=3是矩阵A的特征值，因此a+2=3，可得a=1．那么就有
    Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α．
    α=(1，-1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．
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考研数学三

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