[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

admin2021-01-19 91

问题 [2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x²+y²y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

选项

答案先求出y′的表达式，令其等于0，求出驻点；再用一阶导数判别法或用二阶导数判别法找出极值点．为求出极值点需先求出函数的表达式．由所给方程易求得y′=[*]令y′=0，得到y=y(x)的驻点x=±1，下用一阶导数判别法找出y(x)的极值点，事实上，当x＜一1时，y′＜0；当一1＜x＜1时，y′＞0；当x＞1时，y′＜0．由此知道x=一1为y=y(x)的极小值点，x=1为y=y(x)的极大值点．为求出y=y(x)的极值，需先求出y=y(x)的表达式．由所给方程得到(1+y²)dy=(1一x²)dx，两边积分得到y+[*]y³=x一[*]x³+C．由y(2)=0得C=[*]，从而 y+[*] ① 将x=1代入式①得到 y(1)+[*] 可观察看出y(1)=1．将x=一1代入式①得到 y(一1)+[*]=0．可观察看出y(一1)=0．因而y=y(x)的极小值为y(一1)=0，极大值为y(1)=1．

解析

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考研数学二

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[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

考研数学二

(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤π／2)及直线y=0，x=π／2所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1=V2，求A的值。

(98年)求函数在区间(0．2π)内的间断点，并判断其类型．

[*]

(03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．

设f(x)在[0，1]上阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，证明：

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．

设三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，则t∈_______．

从党的十三大到党的十四大，是邓小平理论（　　　）

甲乙约定，甲的儿子考上大学后，则将甲儿子现在住的房间租给乙住，则此合同属于(　　)。

在下列材料费用中，承包商可以获得业主补偿的包括(　　)。

某钢筋混凝土基础工程，施工合同约定采用商品混凝土方式浇筑。但在基础施工过程中，由于业主要求将商品混凝土临时变更为现场搅拌混凝土方式，致使工程延期3天，则承包商可索赔材料费的情况是()。

下列各项，属于营业外支出的是()。

目前，世界上多数国家采用()的计算口径来统计本国的财政赤字。

关于国内生产总值，下列说法中错误的是（）。

1

有下列程序：main(){intx＝0;inty＝0;while(x＜7&&++y){y--;printf(:%d,%d",y,x);}程序的输出结果是()。

[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．

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(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤π／2)及直线y=0，x=π／2所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1=V2，求A的值。

(98年)求函数在区间(0．2π)内的间断点，并判断其类型．

[*]

(03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．

设f(x)在[0，1]上阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，证明：

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．

设三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，则t∈_______．

从党的十三大到党的十四大，是邓小平理论（ ）

甲乙约定，甲的儿子考上大学后，则将甲儿子现在住的房间租给乙住，则此合同属于( )。

在下列材料费用中，承包商可以获得业主补偿的包括( )。

某钢筋混凝土基础工程，施工合同约定采用商品混凝土方式浇筑。但在基础施工过程中，由于业主要求将商品混凝土临时变更为现场搅拌混凝土方式，致使工程延期3天，则承包商可索赔材料费的情况是()。

下列各项，属于营业外支出的是()。

目前，世界上多数国家采用()的计算口径来统计本国的财政赤字。

关于国内生产总值，下列说法中错误的是（）。

1

有下列程序：main(){intx＝0;inty＝0;while(x＜7&&++y){y--;printf(:%d,%d",y,x);}程序的输出结果是()。

从党的十三大到党的十四大，是邓小平理论（　　　）

甲乙约定，甲的儿子考上大学后，则将甲儿子现在住的房间租给乙住，则此合同属于(　　)。

在下列材料费用中，承包商可以获得业主补偿的包括(　　)。