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[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′,且y(2)=0.求y=y(x)的极大值与极小值.
[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′,且y(2)=0.求y=y(x)的极大值与极小值.
admin
2021-01-19
122
问题
[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x
2
+y
2
y′=1一y′,且y(2)=0.求y=y(x)的极大值与极小值.
选项
答案
先求出y′的表达式,令其等于0,求出驻点;再用一阶导数判别法或用二阶导数判别法找出极值点.为求出极值点需先求出函数的表达式. 由所给方程易求得y′=[*]令y′=0,得到y=y(x)的驻点x=±1,下用一阶导数判别法找出y(x)的极值点,事实上,当x<一1时,y′<0;当一1<x<1时,y′>0;当x>1时,y′<0.由此知道x=一1为y=y(x)的极小值点,x=1为y=y(x)的极大值点. 为求出y=y(x)的极值,需先求出y=y(x)的表达式. 由所给方程得到(1+y
2
)dy=(1一x
2
)dx,两边积分得到y+[*]y
3
=x一[*]x
3
+C. 由y(2)=0得C=[*],从而 y+[*] ① 将x=1代入式①得到 y(1)+[*] 可观察看出y(1)=1.将x=一1代入式①得到 y(一1)+[*]=0. 可观察看出y(一1)=0.因而y=y(x)的极小值为y(一1)=0,极大值为y(1)=1.
解析
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