设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

admin2019-01-24 23

问题设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是( )

选项 A、(E－A)(E＋A)²＝(E＋A)²(E－A)．
B、(E－A)(E＋A)^T＝(E＋A)^T(E－A)．
C、(E－A)(E＋A)^－1＝(E＋A)^－1(E－A)．
D、(E－A)(E＋A)^*＝(E＋A)^*(E－A)．

答案B

解析因EA＝AE＝A，AA²＝A²A＝A³，AA^－1＝A^－1A＝E，AA^*＝A^*A＝｜A｜E，故知A和E，A²，A^－1，A^*乘法运算均可交换．
但(E＋A)(E＋A)^T≠(E＋A)^T(E＋A)．例如

，

事实上，(E－A)(E＋A)^T＝[2E－(E＋A)](E＋A)^T≠(E＋A)^T[2E－(E＋A)]＝(E＋A)^T(E－A)．
故应选(B)．对于(A)，(C)，(D)均成立．以(C)为例，有
(E－A)(E＋A)^－1＝[2E－(A＋E)](E＋A)^－1＝2E(E＋A)^－1－(A＋E)(A＋E)^－1
＝(E＋A)^－12E－(A＋E)^－1(A＋E)＝(A＋E)^－1[2E－(A＋E)]
＝(A＋E)^－1(E－A)．
同理，(A)，(D)也成立．

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考研数学一

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