设常数a≥0，证明：当x＞0时，(x2—2ax+1)e-x＜1．

admin2020-10-21 13

问题设常数a≥0，证明：当x＞0时，(

x²—2ax+1)e^-x＜1．

选项

答案令f(x)=e^x一[*]x²+2ax一1，x＞0，则 f’(x)=e^x—[*]x+2a，f"(x)=e^x一[*]，f"’(x)=e^x，令f"(x)=0，得x=一ln2，f"’(—ln2)=[*]＞0，则x=—ln2是f’(x)的极小值点，也是最小值点，且最小值为 [*] 故当x＞0时，f’(x)≥f’(一ln2)＞0，说明当x＞0时，f(x)单调递增，于是f(x)＞ f(0)=0，即 e^x＞[*]x²一2ax+1，故([*]x²一2ax+1)e^x＜1．

解析

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考研数学二

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