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  3. 设常数a≥0，证明：当x＞0时，(x2—2ax+1)e-x＜1．

设常数a≥0，证明：当x＞0时，(x2—2ax+1)e-x＜1．

admin2020-10-21  31
问题 设常数a≥0，证明：当x＞0时，(x2—2ax+1)e-x＜1．
选项
答案令f(x)=ex一[*]x2+2ax一1，x＞0，则 f’(x)=ex—[*]x+2a，f"(x)=ex一[*]，f"’(x)=ex， 令f"(x)=0，得x=一ln2，f"’(—ln2)=[*]＞0，则x=—ln2是f’(x)的极小值点，也是 最小值点，且最小值为 [*] 故当x＞0时，f’(x)≥f’(一ln2)＞0，说明当x＞0时，f(x)单调递增，于是f(x)＞ f(0)=0，即 ex＞[*]x2一2ax+1，故([*]x2一2ax+1)ex＜1．
解析
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考研数学二

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