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确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示。
确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示。
admin
2018-12-19
42
问题
确定常数a,使向量组α
1
=(1,1,a)
T
,α
2
=(1,a,1)
T
,α
3
=(a,1,1)
T
可由向量组β
1
=(1,1,a)
T
,β
2
=(一2,a,4)
T
,β
3
=(一2,a,a)
T
线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示。
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
)。因为β
1
,β
2
,β
3
,不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,所以r(A)<3(若r(A)=3,则任何三维向量都可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表示),从而 [*]=一(a+2)(a一1)
2
=0, 即a=一2或1。 当a=一2时,有 [*] 考虑线性方程组Bx=α
2
。因为系数矩阵的秩为2,增广矩阵的秩为3,所以线性方程组Bx=α
2
无解,即α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
,线性表出,这与题中的已知条件矛盾,故a=一2不合题意。 当a=1时,α
1
=α
2
=α
3
=β
1
=(1,1,1)
T
,则α
1
=α
2
=α
3
=β
1
+0·β
2
+0·β
3
,说明α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示;而方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
2
无解(系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2),所以β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。故a=1符合题意。
解析
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考研数学二
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