2. 考研
  3. 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。

admin2018-12-19  43
问题 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。
选项
答案记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)。因为β1，β2，β3，不能由α1，α2，α3线性表示，所以r(A)＜3(若r(A)=3，则任何三维向量都可以由α1，α2，α3线性表示)，从而 [*]=一(a+2)(a一1)2=0， 即a=一2或1。 当a=一2时，有 [*] 考虑线性方程组Bx=α2。因为系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，所以线性方程组Bx=α2 无解，即α2不能由β1，β2，β3，线性表出，这与题中的已知条件矛盾，故a=一2不合题意。 当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，则α1=α2=α3=β1+0·β2+0·β3，说明α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示；而方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解(系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为2)，所以β2不能由α1，α2，α3线性表示。故a=1符合题意。
解析
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考研数学二

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