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(2003试题,十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2by+3c=0;l2:bx+2cy+3a=0;l3:cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
(2003试题,十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2by+3c=0;l2:bx+2cy+3a=0;l3:cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2019-03-07
55
问题
(2003试题,十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l
1
:ax+2by+3c=0;l
2
:bx+2cy+3a=0;l
3
:cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
根据题设,三条直线交于一点等价于方程组[*]有唯一解.显然方程组的系数矩阵为[*]相应的增广矩阵为[*]必要性由于方程组解唯一,因此必有rA=[*]=2。从而[*]=0,即[*]=3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]=0因为已由题设知三条直线不同,因此a,b,c不全同,因而[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]≠0只有a+b+c=0从而必要性成立.充分性由(a+b+c)=0,有[*],从而[*].由于[*]和A中共有的子块[*]的行列式为[*]所以[*]且rA=2,因此原方程组有唯一解,即充分性也成立.解析二必要性,设三条直线相交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中[*]从而得|A|=0,即[*]又依题知(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0,故有a+b+c=0充分性,线性方程组[*]中的三个等式相加,且由a+b+c=0可得,方程组①等价于[*]又[*]=2(ac一b
2
)=一2[a(a+b)+b
2
]=一[a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0则知方程组②有唯一解,即方程组①也有唯一解,表明三条直线l
1
,l
2
和l
3
交于一点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XX04777K
0
考研数学一
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