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设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,a2]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,a2]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. 求A的特征值和特征向量;
admin
2018-09-25
17
问题
设A=E+αβ
T
,其中α=[a
1
,a
2
,…,a
2
]
T
≠0,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
≠0,且α
T
β=2.
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
设 (E+αβ
T
)ξ=λξ. ① ①式两端左边乘β
T
得,β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ, 若β
T
ξ≠0,则λ=1+β
T
α=3;若β
T
ξ=0,则由①式,得λ=1. 当λ=1时, (E-A)X=-αβ
T
X= [*] [b
1
,b
2
,…,b
n
]X=0, 即[b
1
,b
2
,…,b
n
]X=0,因α≠0,β≠0,设b
1
≠0,则 ξ
1
=[b
2
,-b
1
,0,…,0]
T
,ξ
2
=[b
3
,0,-b
1
,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[b
n
,0,…,0,-b
1
]
T
; 当λ=3时, (3E-A)X=(2E-αβ
T
)X=0, ξ
n
=α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XYg4777K
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考研数学一
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