设f(x)在(－∞，+∞)内一阶连续可导，且f(x)／x=1．证明：(－1)nf(1／n)收敛，而f(1／n)发散．

admin2018-05-21 29

问题设f(x)在(－∞，+∞)内一阶连续可导，且

f(x)／x=1．证明：

(－1)ⁿf(1／n)收敛，而

f(1／n)发散．

选项

答案[*] 因为[*]f’(x)=f’(0)=1，所以存在δ＞0，当|x|＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，1／n＜δ， [*] 由莱布尼兹审敛法知[*](－1)ⁿf(1／n)收敛，因为n→∞时，f(1／n)=f’(ξ)1／n～1／n且[*]1／n发散，所以[*]f(1／n)发散．

解析

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考研数学一

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